Hai trụ cột của tính tuyến tính
Để một phép biến đổi $T$ được xem là tuyến tính, nó phải thỏa mãn hai điều kiện đại số nghiêm ngặt với mọi vectơ $v, w$ và mọi hằng số $c$:
- Tính cộng tính: $T(v + w) = T(v) + T(w)$. Phép biến đổi của tổng bằng tổng các phép biến đổi.
- Tính thuần nhất: $T(cv) = cT(v)$. Khi mở rộng đầu vào, đầu ra cũng được mở rộng với cùng hệ số chính xác.
Kết hợp hai quy tắc này cho ta đẳng thức mạnh mẽ nhất trong đại số tuyến tính:
$$T(c_1v_1 + \dots + c_nv_n) = c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n)$$
Điều này có nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính $T$ tác động lên một tổ hợp tuyến tính của các vectơ bằng cách phân phối qua tổng và rút các hệ số ra ngoài.
Điều kiện về vectơ không
Một "thử nghiệm quan trọng" để kiểm tra tính tuyến tính là Kiểm tra gốc tọa độ. Nếu một phép biến đổi là tuyến tính, nó phải ánh xạ vectơ không thành vectơ không:
$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
Nếu một ánh xạ dịch chuyển gốc tọa độ (ví dụ: $T(v) = v + b$), thì nó là một biến đổi affine phép biến đổi, chứ không phải tuyến tính. Trong hình học mặt phẳng, các phép biến đổi tuyến tính giữ nguyên tâm cố định; chúng chưa bao giờ "trượt" không gian.
Nhận diện tính phi tuyến
Tính tuyến tính cực kỳ mong manh. Nếu quy tắc xác định $T$ liên quan đến bất kỳ điều gì sau đây, thì nó là không tuyến tính:
- Bình phương hoặc các lũy thừa cao hơn (ví dụ: $v_1^2$)
- Tích của các thành phần (ví dụ: $v_1 v_2$)
- Giá trị tuyệt đối hoặc chuẩn (ví dụ: $||v||$)
- Dịch chuyển hằng số (ví dụ: $v_1 + 1$)